在卷积神经网络（CNN）中，输入尺寸、卷积核尺寸、填充（padding）和步幅（stride）共同决定了输出特征图的尺寸。

填充的作用

当进行多次卷积操作时，图像边缘的信息容易丢失。为缓解这一问题，可以通过在输入图像边缘补充零值（zero-padding）来保留更多原始信息。若在上下方向各填充 p_h 行，在左右方向各填充 p_w 列，则输出尺寸变为：

(n_h - k_h + p_h + 1) × (n_w - k_w + p_w + 1)

特别地，若设置 p_h = k_h - 1 且 p_w = k_w - 1，则输出与输入具有相同的高宽。此时若卷积核尺寸为奇数，可均匀分配上下或左右的填充量。

以下示例展示了使用 PyTorch 实现带填充的二维卷积：

import torch
import torch.nn as nn

def apply_conv2d(conv_layer, input_tensor):
    input_tensor = input_tensor.unsqueeze(0).unsqueeze(0)
    output = conv_layer(input_tensor)
    return output.squeeze()

# 使用3x3卷积核并四周各填充1单位
conv = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=3, padding=1)
x = torch.randn(8, 8)
output_shape = apply_conv2d(conv, x).shape
print(output_shape)  # 输出: torch.Size([8, 8])

步幅的影响

步幅定义了卷积窗口移动的距离。较大的步幅可以降低输出尺寸，从而实现下采样效果。设垂直步幅为 s_h，水平步幅为 s_w，则输出尺寸公式如下：

⌊(n_h + p_h - k_h) / s_h⌋ + 1 × ⌊(n_w + p_w - k_w) / s_w⌋ + 1

例如，使用 3×3 卷积核、填充为 1、步幅为 2 的情况：

conv = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)

又如使用 3×5 卷积核、垂直填充 0、水平填充 1、垂直步幅 3、水平步幅 4 的情形：

conv = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))

多输入通道处理

彩色图像通常包含三个颜色通道（RGB），每个通道都需要独立参与卷积运算。假设输入通道数为 c_i，则卷积核也必须拥有同样数量的输入通道。具体而言，每个通道分别与对应卷积核子矩阵进行互相关运算后求和，得到一个二维输出。

示例代码演示了多通道输入的相关计算过程：

def multi_channel_corr2d(input_tensor, kernel):
    return sum(torch.conv2d(x.unsqueeze(0), k.unsqueeze(0)) 
               for x, k in zip(input_tensor, kernel))

input_data = torch.tensor([[[0., 1., 2.],
                            [3., 4., 5.],
                            [6., 7., 8.]],
                           [[1., 2., 3.],
                            [4., 5., 6.],
                            [7., 8., 9.]]])
kernel_weights = torch.tensor([[[0., 1.],
                                [2., 3.]],
                               [[1., 2.],
                                [3., 4.]]])
result = multi_channel_corr2d(input_data, kernel_weights)
print(result)

多输出通道机制

网络可通过增加输出通道数提升表达能力。每一输出通道对应一组特定的卷积核权重，用于捕捉不同类型的特征。若输出通道数为 c_o，则总共有 c_o 组 c_i × k_h × k_w 形状的卷积核。

1×1 卷积的应用

虽然 1×1 卷积不具备空间感知能力，但它能在通道维度上进行线性变换，类似于全连接层的操作。这种结构常用于调整通道数量及控制模型复杂度。

下面是 1×1 卷积等价于全连接层的一个验证示例：

def conv1x1_equivalent(input_tensor, weights):
    c_i, h, w = input_tensor.shape
    c_o = weights.shape[0]
    input_flat = input_tensor.view(c_i, -1)
    weight_flat = weights.view(c_o, c_i)
    output_flat = torch.mm(weight_flat, input_flat)
    return output_flat.view(c_o, h, w)

input_sample = torch.randn(3, 4, 4)
weights_sample = torch.randn(6, 3, 1, 1)
output1 = conv1x1_equivalent(input_sample, weights_sample)
output2 = torch.conv2d(input_sample.unsqueeze(0), weights_sample).squeeze()
assert torch.allclose(output1, output2, atol=1e-6)

池化层的功能

池化层主要用于降低特征图的空间分辨率，增强模型对局部变化的鲁棒性。常见的两种类型包括最大池化和平均池化。

手动实现一个简单的池化操作：

def simple_pool(input_tensor, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    out_height = input_tensor.shape[0] - p_h + 1
    out_width = input_tensor.shape[1] - p_w + 1
    result = torch.zeros(out_height, out_width)
    
    for i in range(out_height):
        for j in range(out_width):
            region = input_tensor[i:i+p_h, j:j+p_w]
            if mode == 'max':
                result[i, j] = region.max()
            elif mode == 'avg':
                result[i, j] = region.mean()
                
    return result

test_input = torch.tensor([[0., 1., 2.],
                           [3., 4., 5.],
                           [6., 7., 8.]])
pooled_output = simple_pool(test_input, (2, 2), 'max')
print(pooled_output)

PyTorch 提供内置的池化模块支持自定义填充和步幅：

max_pool = nn.MaxPool2d(kernel_size=3, padding=1, stride=2)

总结

• 合理运用填充可维持特征图尺寸不变，便于设计深层网络。
• 通过调节步幅能够灵活控制输出大小，有助于构建高效的特征提取路径。
• 多通道机制使得 CNN 能够同时处理多种视觉模式。
• 1×1 卷积提供了一种轻量级的方式来进行通道间的特征融合。
• 池化层不仅减少了参数规模，还提升了模型泛化能力和抗噪性能。