背景说明

在前文中，我们已讨论了奇数阶幻方的构造算法。本文将继续探讨偶数阶幻方的实现方案，具体包括4M阶幻方和4M+2阶幻方两种类型。通过对这两种幻方构造方法的学习，我们将能够实现任意阶数幻方的生成（2阶幻方除外）。

构造方法分析

4M阶幻方构造

对于4M阶幻方，可以采用对角线填充法实现。该算法的核心思路如下：

首先，将整个幻方划分为M²个4×4的小方阵。随后，在每个4×4子方阵中标记其两条对角线穿过的单元格。填充过程分为两个阶段：第一阶段按自然顺序填充数字，但跳过所有被标记的单元格；第二阶段则将标记单元格中的数字替换为与其关于幻方中心对称位置处的数字。

通过具体实例可以更好地理解这一过程。以八阶幻方为例，将其划分为四个四阶子方阵，并在每个子方阵中绘制对角线。第一遍填充时，将1至64依次填入非标记位置。第二遍填充时，将标记位置的值替换为其对称位置的值。完成上述步骤后即可得到完整的八阶幻方。下图展示了整个构造过程：

需要说明的是，幻方的解并非唯一，上述方法仅给出一种可行构造。使用其他算法可能得到不同的幻方结构。

基于上述思路，可以编写如下Java实现代码：

public static void constructEvenMagicSquare(int[][] grid)
{
  int size = grid.length;
  for (int i = 0; i < size; i++) {
    for (int j = 0; j < size; j++) {
      int blockRow = i % 4;
      int blockCol = j % 4;
      
      if (blockRow == blockCol || blockRow + blockCol == 3) {
        grid[i][j] = (size - 1 - i) * size + (size - 1 - j) + 1;
      } else {
        grid[i][j] = i * size + j + 1;
      }
    }
  }
}

4M+2阶幻方构造

4M+2阶幻方的构造复杂度最高，这里采用Strachey方法。该方法充分利用已实现的奇数阶幻方构造算法，主要步骤包括：

将幻方划分为四个(2M+1)阶子方阵，排列方式为：

A C

D B

分别使用不同的数字区间填充这四个子方阵：A区填充1至(2M+1)²，B区填充(2M+1)²+1至2×(2M+1)²，C区填充2×(2M+1)²+1至3×(2M+1)²，D区填充3×(2M+1)²+1至4×(2M+1)²。

第一轮置换操作：在A区中间位置与D区对应位置交换数据；将A区中间行左侧前M-1个元素与D区对应位置交换；将A区其余2M行左侧前M个元素与D区对应位置交换。

第二轮置换操作：在C区选取前m-1列与B区对应列进行交换。

以六阶幻方为例进行说明。将六阶幻方划分为四个三阶子方阵，分别标记为A、C、D、B。A区用1至9填充为三阶幻方；C区用19至27填充；D区用28至36填充；B区用10至18填充。第一轮置换时，将A区中心元素5与D区对应位置元素32交换，将A区中间行左侧0个元素与D区交换（因为M-1=0），将A区其余两行左侧各1个元素与D区交换（即A区中的8、4分别与D区中的35、31交换）。第二轮置换时，由于m-1=0，C区无需与B区进行列交换。完成上述步骤后即可得到六阶幻方。全过程见下图：

同样需要注意的是，幻方解不唯一，上述仅为一种构造方法的展示。

该算法的Java实现代码如下：

public static void constructStracheyMagicSquare(int[][] grid)
{
    int n = grid.length;
    int order = (n - 2) / 4;
    int subSize = 2 * order + 1;
    
    int[][] sectionA = new int[subSize][subSize];
    int[][] sectionB = new int[subSize][subSize];
    int[][] sectionC = new int[subSize][subSize];
    int[][] sectionD = new int[subSize][subSize];
  
    generateOddMagicSquare(sectionA);
    
    for (int r = 0; r < subSize; r++) {
        for (int c = 0; c < subSize; c++) {
            int baseNum = subSize * subSize;
            sectionB[r][c] = sectionA[r][c] + baseNum;
            sectionC[r][c] = sectionB[r][c] + baseNum;
            sectionD[r][c] = sectionC[r][c] + baseNum;
        }
    }
   
    for (int r = 0; r < subSize; r++) {
        for (int c = 0; c < order; c++) {
            int temp = sectionA[r][c];
            sectionA[r][c] = sectionD[r][c];
            sectionD[r][c] = temp;
        }
    }
    
    int mid = order;
    int swapVal = sectionA[mid][mid];
    sectionA[mid][mid] = sectionD[mid][mid];
    sectionD[mid][mid] = swapVal;
    
    swapVal = sectionA[mid][mid - 1];
    sectionA[mid][mid - 1] = sectionD[mid][mid - 1];
    sectionD[mid][mid - 1] = swapVal;
  
    for (int r = 0; r < subSize; r++) {
        for (int c = 0; c < order - 1; c++) {
            int temp = sectionB[r][c];
            sectionB[r][c] = sectionC[r][c];
            sectionC[r][c] = temp;
        }
    }
    
    for (int r = 0; r < n; r++) {
        for (int c = 0; c < n; c++) {
            if (r < subSize && c < subSize) {
                grid[r][c] = sectionA[r][c];
            } else if (r < subSize && c >= subSize) {
                grid[r][c] = sectionC[r][c - subSize];
            } else if (r >= subSize && c < subSize) {
                grid[r][c] = sectionD[r - subSize][c];
            } else {
                grid[r][c] = sectionB[r - subSize][c - subSize];
            }
        }
    }
}

总结

通过本文的介绍，我们已经完整覆盖了三种主要幻方类型的构造方法：奇数阶、4M阶以及4M+2阶。这意味着除二阶幻方外，任意给定一个正整数n，我们都能够构建出对应的n阶幻方。

当然，幻方的构造方法远不止上述几种。本文所采用的是较为经典的几种算法，读者也可以探索其他构造方法或深入研究其数学理论基础，以获得更全面的认识。