核心功能概述

本程序利用Python结合SymPy与Matplotlib库，实现对一元及多元函数的导数、不定积分、定积分、多重积分以及两类曲线与曲面积分的符号计算与数值求解，并通过图形界面动态展示结果。同时支持常见概率分布的参数设定与可视化输出。

微积分模块实现

1. 一元函数导数与高阶导数

通过符号计算引擎对任意可导表达式求取指定阶次的导数，支持多项式、三角函数、指数函数等组合形式。

def compute_derivative(self):
    try:
        expr = self.input_expr.text()
        var_name = self.input_var.text()
        order = int(self.order_input.text())

        x = sympy.Symbol(var_name)
        func = sympy.sympify(expr)
        result = sympy.diff(func, x, order)

        self.result_display.setText(f"导数: {result}")
    except Exception as e:
        self.result_display.setText(f"错误: {str(e)}")

2. 不定积分与定积分

支持符号不定积分求解与数值定积分计算，自动处理积分常数项并返回精确或近似值。

def evaluate_integral(self):
    try:
        integrand = sympy.sympify(self.integrand_input.text())
        variable = sympy.Symbol(self.var_input.text())
        lower = sympy.sympify(self.lower_limit.text())
        upper = sympy.sympify(self.upper_limit.text())

        if lower is None or upper is None:
            # 不定积分
            antiderivative = sympy.integrate(integrand, variable)
            self.result.setText(f"∫{integrand}d{variable} = {antiderivative} + C")
        else:
            # 定积分
            definite_val = sympy.integrate(integrand, (variable, lower, upper)).evalf()
            self.result.setText(f"∫_{lower}^{upper}{integrand}d{variable} ≈ {definite_val:.6f}")
    except Exception as e:
        self.result.setText(f"计算失败: {e}")

3. 多重积分（二重/三重）

采用嵌套积分方式求解二维与三维区域上的积分问题，适用于物理场中质量、电荷分布等建模。

def compute_double_integral(self):
    f = sympy.sympify(self.func_2d.text())
    x, y = sympy.symbols('x y')
    x_low = float(self.x_min.text())
    x_high = float(self.x_max.text())
    y_low = float(self.y_min.text())
    y_high = float(self.y_max.text())

    integral = sympy.integrate(f, (y, y_low, y_high), (x, x_low, x_high))
    self.result_2d.setText(f"∬{f} dxdy = {integral.evalf()}")

4. 曲线与曲面积分

• 第一类积分（标量场）：用于计算非均匀密度曲线段的质量或曲面的总质量。
• 第二类积分（矢量场）：用于变力做功、电磁通量等场景，体现方向性影响。

def compute_line_integral_vector(self):
    P = sympy.sympify(self.P_func.text())
    Q = sympy.sympify(self.Q_func.text())
    x_t = sympy.sympify(self.x_param.text())
    y_t = sympy.sympify(self.y_param.text())
    t_start = float(self.t_start.text())
    t_end = float(self.t_end.text())

    dx_dt = sympy.diff(x_t, 't')
    dy_dt = sympy.diff(y_t, 't')

    integrand = P.subs({'x': x_t, 'y': y_t}) * dx_dt + Q.subs({'x': x_t, 'y': y_t}) * dy_dt
    result = sympy.integrate(integrand, ('t', t_start, t_end)).evalf()

    self.result_vector.setText(f"∫Pdx+Qdy = {result}")

概率分布可视化模块

集成常见的离散与连续型概率分布，支持用户自定义参数后实时生成概率密度函数（PDF）或概率质量函数（PMF）图像。

示例：正态分布参数调节与绘图

def plot_normal_distribution(self):
    mu = float(self.mu_input.text())
    sigma = float(self.sigma_input.text())
    x_vals = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 1000)
    pdf_vals = (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-0.5 * ((x_vals - mu) / sigma)**2)

    plt.figure(figsize=(8, 5))
    plt.plot(x_vals, pdf_vals, label=f'N({mu}, {sigma}²)')
    plt.fill_between(x_vals, pdf_vals, alpha=0.3)
    plt.title("Normal Distribution PDF")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("f(x)")
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.show()

支持分布类型

• 正态分布（Normal）
• 泊松分布（Poisson）
• 指数分布（Exponential）
• 均匀分布（Uniform）
• 二项分布（Binomial）

GUI界面设计要点

使用PyQt5构建响应式界面，包含以下组件：

• 输入框：用于输入数学表达式与参数
• 下拉菜单：选择所需计算类型与分布模型
• 按钮区：触发计算与绘图操作
• 结果显示区：显示公式推导过程与最终数值
• 画布控件：嵌入Matplotlib图表进行动态可视化

所有计算逻辑均在后台线程中执行，避免阻塞主线程，提升用户体验。